몬티홀 문제(Monty Hall problem) _ 베이즈정리의 예

베이즈정리, 조건부확률을 이용한 재미있는 문제가 바로 몬티홀 문제, 몬티홀 딜레마(Monty Hall Dilemma)이다.

아래는 21이라는 영화에서 나오는 몬티홀 문제이다.

역시 주인공은 갓갓이므로 교수의 문제를 간단히 답한다.

이 문제를 계기로 주인공은 교수의 눈도장을 찍게되는데..

영어 되시는 분들은 한번 보는 것도 좋을 듯 하다.

몬티홀이라는 미국,캐나다 TV프로그램 진행자가 진행하던 미국 오락프로그램 "Let's Make a Deal"에서 유래한 확률문제인데

사람이름 몬티홀을 검색했는데 구글에는 이 문제가 나온다. (진행자는 진행을 했을 뿐인데 문제 만든사람 억울할듯)

문제의 내용은 아래와 같다.

Suppose you’re on a game show, and you’re given the choice of three doors. Behind one door is a car, behind the others, goats. You pick a door, say #1, and the host, who knows what’s behind the doors, opens another door, say #3, which has a goat. He says to you, "Do you want to pick door #2?" Is it to your advantage to switch your choice of doors?

당신은 게임쇼에 있다. 눈 앞에는 3개의 문이 있는데 문 하나의 뒤에는 자동차가, 나머지는 염소만 있다. 당신이 1번 문을 고르자, 자동차가 어디있는지 아는 진행자는 3번 문을 열어 그 안에 염소가 있음을 보여준다. 그리고서는 진행자는 "2번문으로 바꾸실래요?"하고 질문한다면 당신은 바꿀텐가 바꾸지 않을텐가?

보통 평범한 사람들은 답을 바꾸지 않는다. 즉 위와 같은 경우 1번에서 2번으로 바꾸지 않는다.

왜냐고? 

바꿨다가 원래 있었던 곳에 자동차가 있으면 빡치니까...

그리고 조금 더 생각하는 사람은

경우의 수가 줄어들어서 1번 혹은 2번에 있으니까 1번 문에 자동차가 있을 확률은 1/2 = 50%가 된다고 생각하고 그냥 선택을 그대로 한다.

하지만 위 영화 주인공이 그러하듯 바꾸는 경우가 자동차를 얻을 확률이 2/3이라서 유리하다는 것이다.

사회자는 문 뒤에 자동차가 어디에 위치해 있는지 알기 때문이다.

틀렸다고 좌절하지 말자 대부분의 사람들이 바꾼다 한들 확률이 2/3이 오르기 때문에 바꾼다고 말하는 사람은 거의 없다.(아니면 문제를 미리 알고 있거나)

모 위키러에 의하면 이 문제가 대중적으로 가장 화제가 되었던 1990년도에 기네스 북에 높은 IQ로 등재된 보스 사반트의 칼럼 '사반트에게 물어보세요'에서 사반트가 이 문제에 대한 정답(2/3)을 제시했을 때 약 만 통의 편지를 받았고 그 중 약 천 통은 수학이나 공학에서 박사학위를 가진 사람들이 틀린 답에 항의하는 내용의 편지였다고 한다.

말로 백날 설명하는것 보다 베이즈와 관련된 이러한 경우의 수 문제는

표로 확인하는 것이 가장 명확하다.

사회자가 없을 경우에 

자동차위치	1번	2번	3번
1번선택	O	X	X
2번선택	X	O	X
3번선택	X	X	O

그렇기 때문에 어떠한 선택을 하던지 1/3의 확률을 얻는다

하지만 몬티홀 문제에서 사회자가 다시 되물을때

선택을 바꾼다면 아래의 2번에 있을 자동차의 경우와 3번에 있을 자동차의 경우를 모두 획득할 수 있다.

자동차위치	1번	2번	3번
1번선택고정	O	X	X
1번선택바꿈	X	O	X
1번선택바꿈	X	X	O

좀 더 자세히 설명하면

1번선택을 고정했을때 자동차를 얻을 경우는 처음 시작부터 1번 자리에 자동차가 있을 경우지만

1번선택에서 바꿨을 경우 자동차를 얻을 경우는 2번에 있을때도 얻을 수 있고 3번에 있을 때도 얻을 수 있다.

왜냐하면 만약에 2번에 자동차가 있었을 경우 진행자는 3번문을 열었을 것이고

3번문에 자동차가 있었을 경우엔 2번문을 열었을 것이기 때문이다.

그래서 선택을 마지막에 한번 더 바꾸는 행동은 2번과 3번의 문을 동시에 여는 것과 같은 효과이다.

이렇게 말로 하니 못믿을 수 있겠다.

다음에 기회가 된다면 컴퓨터로 경우의 수를 돌려 진짜 확률이 66.7%가 나오는지 확인해 보도록 한다.

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베이즈 정리가 어렵게만 느껴질 수 있지만 베이즈 정리를 가지고 이렇게 재미있는 문제와 사례들을 접할 수 있다.

다음에 본격적으로 Likelihood Function과 denominator를 활용하여 베이즈 정리에 대해 설명할 기회가 있을 것이다.

그때를 위한 준비운동을 하는 셈 치자.