적률생성함수(Moment Generate Function,mgf) 가 왜필요하지?

통계학을 배울때 확률변수에 대해 배우고 기대값을 배운다.

기대값을 간단히 적어보자면 아래와 같다.

그러면서 스리슬쩍 끼워서 배우는것이 바로 적률생성함수(Moment Generate Function)이다.

적률생성함수는 말 그대로 적률(Moment)을 생성하는 함수이다.

어떻게 생성하냐고?

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적률생성 함수의 정의는 위와 같은데

t에 관해 미분하려 하니 뭔가 f(t)의 형태로 나타내기가 힘들다

이때 자연로그 e의 정의에 따라

그렇기 때문에 

이렇게 식을 만들고 t에 관해 1번 미분하고 t에 0을 대입하면 E(X)

두번미분하고 0대입하면 E(X^2)....

이런식으로 적률을 생성해준다.

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처음에 배울때는 이걸 왜 배우는지 모르고 그낭 지나쳤었다.

배움의 시간이 다소 지나고 나서 정리해보자면 (미천한 지식을 가진 개인의 생각임..)

1. 여러 적률(X, X^2., X^3....)을 한번에 구할 수 있다는 점

2. 부호만 다른 two-side Laplace transform이라는 점

3. mgf가 고유한 특성이 있기 때문에 분포의 특성이 될 수 있다는 점

세가지가 mgf를 왜 사용하는지 인 것 같다. 물론 아닐수도 있고 더 있을수도 있다.

문제는 mgf가 반드시 존재하지는 않는다는 점이다.

그래서 characteristic function이 등장하는데 나중에 설명할 기회가 있으리라 생각한다.